Добавление узлов к AVL-дереву

Каждый раз при добавлении узла к AVL-дереву вы должны проверять, соблю-
даются ли условия, описывающие AVL-дерево. После вставки узла вы можете ис-
следовать узлы в обратном порядке - к корню, проверяя, чтобы глубина поддере-
вьев отличалась не более чем на единицу. Если вы находите ячейку, где это условие
не выполняется, вы можете сдвинуть элементы по кругу, чтобы сохранить выпол-
няемость условия AVL-дерева.
Процедура добавления нового узла рекурсивно спускается вниз по дереву в по-
исках места для размещения элемента. После добавления элемента рекурсивные
обращения к процедуре заканчиваются и дерево исследуется в обратном порядке.
После окончания каждого вызова процедура проверяет свойство AVL на самом
высоком уровне. Эта разновидность обратной рекурсии, при которой процедура
выполняет важное действие вне цепочки рекурсивных обращений, называется
восходящей рекурсией (bottom-up recursion).
При обратном проходе вверх по дереву процедура также проверяет, не изме-
нилась ли глубина исследуемого поддерева. Если процедура достигает точки, где
глубина поддерева не изменилась, то глубина любого поддерева на более высоких
уровнях также не могла измениться. В этом случае дерево необходимо еще раз сба-
лансировать таким образом, чтобы процедура могла прекратить проверку.
Например, дерево на рис. 7.3 слева - это правильно сбалансированное AVL-
дерево. При добавлении нового элемента Е получится дерево, изображенное в се-
редине. Затем выполняется проход вверх по дереву от нового узла Е. Дерево в узле
Е сбалансировано, потому что два поддерева здесь пусты и имеют одинаковую глу-
бину 0.
Дерево в узле D тоже сбалансировано. Левое поддерево в узле D пустое, поэто-
му глубина его равна 0. Правое поддерево содержит один узел Е, поэтому его глу-
бина равна 1. Глубина этих поддеревьев отличается на 1, поэтому дерево в узле D
сбалансировано.
В узле С дерево не сбалансировано. Левое поддерево в узле С имеет глубину О,
в то время как глубина правого поддерева равна 2. Вы можете сбалансировать эти,
поддеревья, как показано на рис. 7.3 справа, при этом узел С заменяется узлом D.

Рис. 7.3. Добавление узла в AVL-дерево